Selasa, 11 September 2012

Mencari Un dan Sn Barisan/Deret Aritmetika Bertingkat dengan Sistem Persamaan Linier n Variabel (bag.II dua)

Tulisan ini adalah sambungan tulisan cara mencari Un/Sn barisan Aritmetika bertingkat dengan Sistem Persamaan Linier yang ada di link ini .

Contoh Kedua : Kita diminta mencari Rumus Suku ke n atau Un dari barisan aritmetika bertingkat di bawah ini

2    6    12    20    30

Ada banyak cara menyelesaikan soal di atas. Karena beda tetap di peroleh dari dua tingkat maka kita tahu itu barisan aritmetika bertingkat dua. Salah satu cara termudah dan tercepat bisa anda lihat di sini . Cara tersebut cocok untuk menyelesaikan soal UNAS SMP atau SMA dengan cepat.
Cara yang lain lagi : Selain memakai rumus praktis atau rumus jadinya, kita bisa juga memakai rumus yang lebih umum untuk mencari Un barisan aritmetika bertingkat berapapun . Rumus tersebut bisa anda lihat di sini.

Pada kesempatan kali ini, saya ingin menunjukkan konsep lain yang bisa dipakai untuk menyelesaikan soal barisan aritmetika bertingkat berapapun yaitu menyelesaikannya dengan sistem persamaan linier n variabel. Cara ini tidak membutuhkan rumus sama sekali.

2    6     12     20       30 
    4     6      8       10
        2      2      2

kita bisa lihat karena ada dua tingkat turun untuk mendapatkan beda tetap, maka soal yang kita hadapi adalah barisan aritmetika bertingkat dengan Un berpangkat dua.

Untuk Un berpangkat dua, maka Un nya adalah An2 + Bn + C

2    6     12    30     30
untuk n = 1    Un = 2
untuk n = 2    Un = 6
untuk n = 3    Un = 12 dan seterusnya .
kita cuma butuh 3 persamaan karena hanya ada 3 variabel yang ingin dicari

2    =   A. 1 2   +   B . 1 +  C
2    =   A  + B + C                                ... pers. 1

6    =  A. 2 2   +   B . 2 +  C
6    =   4A  + 2B + C                            ... pers 2

12   =  A. 3 2   +   B . 3 +  C
12   =   9A  + 3B + C                           ... pers 3

Kita mendapatkan 3 persamaan dengan 3 variabel yang tidak diketahui. Persamaan tersebut bisa diselesaikan dengan eliminasi, substitusi, dengan matriks, iterasi atau cara lain sesuai selera. 

Anggap saja kita ingin menyelesaikan dengan eliminasi biasa. Kita eliminasi persamaan 2 dan 1.
6  = 4A + 2B   + C
2  =   A +   B   + C

=================   -
4  = 3A +   B

Kita eliminasi persamaan 3 dan 2.
12  = 9A + 3B   + C
  6  = 4A + 2B   + C
=================   -
6  = 5A +   B

       6  = 5A +   B
       4  = 3A +   B
=================   -
        2 = 2A   maka kita peroleh  A = 1  , disubsitusi ke persamaan atas

6 = 5 A + B =>  6 =  5 .1 + B  maka didapatkan B = 1

A dan B sudah diperoleh, disubsitusi ke persamaan A + B + C = 2
1 + 1 + C = 2 , maka didapatkan C = 0       

Un =  An2 + Bn + C   =  1 n2 +1 n + 0 = n2 + n

Bisa anda bandingkan hasilnya dengan cara lain. OKE, kita sudah berhasil mencari rumus suku ke n (Un ) barisan aritmetika bertingkat dengan memakai sistem persamaan linier.
Lalu Bagaimana jika yang diminta mencari Sn atau jumlah suku ke n ? Caranya sama saja. hanya saja kita ubah dulu soal Sn tersebut menjadi soal Un yang setingkat di atasnya, baru kita selesaikan.  Penjelasan lebih lanjut hubungan Un dan Sn barisan aritmetika bertingkat bisa dibaca di sini


Salam ...

Kamis, 02 Agustus 2012

Mencari Un dan Sn Barisan/Deret Aritmetika Bertingkat dengan Sistem Persamaan Linier n Variabel (bag. I)

Ada banyak cara mencari Un ( dan juga Sn) barisan/deret aritmetika bertingkat. Salah satu cara yang mudah untuk mencari rumus suku ke n (Un) barisan aritmetika tingkat dua bisa dilihat di sini. Itu adalah soal standard untuk SMP dan SMA kelas tiga ( SMP kelas 9 dan SMA kelas 12).Jika targetnya sekedar menyelesaikan soal Ujian Nasional, memakai rumus itu biasanya sudah lebih dari cukup. 

Bagi murid/guru yang tertantang untuk menyelesaikan soal barisan aritmetika dengan pangkat yang lebih tinggi, biasanya memakai cara sulit dengan mensubstitusi rumus barisan aritmetika ke dalam rumus barisan aritmetika  yang lain. Jika tingkatnya semakin tinggi tentu substitusinya makin banyak sehingga kemungkinan salah makin besar. Cara lain yang lebih mudah,  bisa langsung memakai rumus umum barisan aritmetika  yang linknya ada di sini.Rumus itu berlaku untuk barisan aritmetika bertingkat berapapun. 

Pada kesempatan kali ini, saya justru tidak ingin memakai semua cara tersebut. 

Saya ingin menunjukkan bahwa menyelesaikan soal barisan aritmetika bertingkat berapapun sebenarnya mudah. Bahkan bisa saja diselesaikan tanpa butuh rumus apapun. 

Ah Masak sih ? ^_^ 
Ya. Bener ... Serius ^_^

Sepanjang anda bisa menyelesaikan persamaan linier dengan eliminasi/substitusi atau cara lain (misalnya dengan matriks atau iterasi) , maka soal barisan aritmetika biasa/bertingkat berapapun bisa diselesaikan dengan konsep Sistem Persamaan Linier. 
Kelebihan cara ini adalah cara ini sangat konseptual dan mudah dipahami idenya. Jadi tidak sekedar menghafalkan rumus jadi atau rumus praktis. 
Matematika itu bukan sekedar hafal dan bisa memakai rumus bukan ? ^_^

Ide dasarnya adalah : Ubah Soal Barisan Aritmetika Bertingkat menjadi soal Persamaan Linier n Variabel. Jumlah variabel n ini tergantung tingkat dari barisan arimetika bertingkat. 

Untuk barisan aritmetika biasa atau Un berpangkat 1(satu).  Ada dua variabel yang perlu dicari, yaitu koefisien n dan konstanta. Jadi SPL nya 2 (dua) variabel. 
Un = An + B ===> Ada dua yang perlu di cari yaitu A dan B. 
Untuk barisan aritmetika bertingkat 2(dua) atau pangkat dua.  Maka SPLnya ada 3 variabel.
Un = An^2 + Bn + C ===> Untuk Un pangkat 2, ada 3 variabel yang perlu dicari yaitu A, B, C. 

Demikian seterusnya. Jadi n variabel pada SPL lebih besar satu dari pangkat aritmetika bertingkat.

Mari kita coba mencari Un barisan Aritmetika biasa/bertingkat dengan cara mengubah soal tersebut menjadi soal Sistem Persamaan Linier n variabel. Sebagai pemanasan, saya memakai contoh barisan aritmatika biasa terlebih dahulu.

Contoh Pertama : Anggap saja ada barisan aritmetika biasa seperti ini

3  5  7  9  dan seterusnya. 

Kita tahu dengan rumus suku ke n --> Un = a + (n-1) b = 3+(n-1)2 = 2n + 1

Sekarang kita lihat bagaimana menyelesaikan soal itu dengan konsep SPL 

untuk n = 1   ===> U1 = 3
untuk n = 2   ===> U2 = 5  , kita cuma butuh dua persamaan karena Un-nya pangkat satu. 

Karena Un pangkat satu, kita tahu 
Un = An + B

3   = A.1 + B
5   = A.2 + B

Kita mendapatkan sistem Persamaan Linier dua variabel dimana A dan B bisa dicari entah dengan cara eliminasi, substitusi atau cara yang lain sesuai selera. 

Anggap saja soal mau diselesaikan dengan eliminasi : 

3  =   A + B
5  = 2A + B
=============  - 
-2 = - A    maka A = 2

Substitusi ke persamaan atas  3 = 2 + B , maka B ketemu = 1. 
Jadi Un = An + B = 2n + 1

Cara ini terkesan lebih ribet apalagi kalo hanya untuk menyelesaikan Un barisan aritmetika biasa yang sudah ada rumus jadinya yang lebih mudah. Tetapi kelebihannya : cara ini mudah dipahami logika berpikirnya, dan cara ini berlaku umum bisa dipakai untuk menyelesaikan soal barisan aritmetika bertingkat berapapun. 
Karena Sistem Persamaan Linier biasanya  mudah dan cepat dihitung dengan program komputer terutama dengan konsep matriks atau memakai iterasi, maka menyelesaikan soal barisan aritmetika bertingkat/berpangkat 10 atau 20 pun, sebenarnya mudah, tentu saja dengan bantuan komputer ^_^.  

Ubah saja soal barisan aritmetika bertingkat menjadi soal persamaan linier n variabel.  Jangan lupa jumlah persamaan yang anda butuhkan lebih banyak satu buah, dibandingkan tingkat/pangkat pada barisan aritmetika bertingkat.

Contoh Kedua : ( Bersambung )